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大家好，我是朱强，来自杭州天地实验小学，是朱乐平名师工作站“一课研究”团队第21小组成员，很高兴能在“一课研究”微信平台上与您相遇！
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本期内容有哪些
听一听：《数学学习的心理基础与过程》——小数、负数
读一读：小数概念的形成和负数的发展历史
做一做：学以致用
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数学学习的心理基础与过程
——小数、负数
（鲍建生 周超 著）
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坚持阅读8分钟
小数、负数
小数
小数与分数有什么区别？
小数和分数在性质上虽有相同之处，但还是有不少差异的，我们来比较分析一下他们的相同与不同，作为一个值而言，小数和分数知识有三个相同点：1.它们都在O与1之间表达一个值；2.它们的整体被分成很多较小等份；3.在O与1之间有无限个小数或分数存在。作为一个符号而言，小数和分数知识有三个不同点：1. 小数中，单位被分成几个的数隐含在数字的位置中，而分数中，一个单位被等分成几个数是由分母明确界定的；2.小数中，有多少等份表示在小数的量中，而分数中，有多少等份是表示在分数的分子中；3.小数中，整体仅可被分成10的幂次方，而分数中，整数可被分成任一个等份的数。
可见，小数与分数的差异主要反映在符号的表征系统部分。此外，从小数与分数包括的范围来看，一些小数(或有理数)可以转换成分数的形式，如0.6=6/10；0.32=32/100，在这种情形下，小数为分数的子集。但分数中的分母并不一定都是以10乘幂的形式出现时，分子除以分母所得的数会产生两种情形：一是除得尽(如2/5=0.4)，这些小数就称为有限小数；另一种是除不尽的，包括循环小数（如2/3=0.66……）及无理数(无限不循环小数，如丌)。此时，有限小数与循环小数的并集即称为分数的集合。将无理数也视为小数时，则分数的集合即成为小数的子集。
从分数的角度切入来了解小数的意义，会在小数大小比较上产生一种错误类型：当整数部分相同时，小数点后面的位值越多的，它的值会越小。例如0.54小于0.3，因为0.54有2位小数，而0.3只有一位小数。瑞思尼克等人将此错误类型称为“分数规则”，这是因为这些已学过分数的学生，会将分数所切割的份数大小与数目观念应用到小数所代表的指示物上。例如，若学生已学过分数符号所代表的意义，则百分之一比十分之一所代表的份数还小，从而推论两位小数所代表的数值会比一位小数小，所以学生会有以为小数位值越多其值越小的“分数规则”错误。
小数与整数概念有什么区别？
瑞思尼克等人从数值、数位和读法三个方面对小数与整数概念进行了比较。他们认为，小数和整数就数值而言有三点相同和两点不同：相同点是1.数字从左移到右时，值会变小；2.左边数字是右边相同数字的10倍；3.“O”有位值的意义。不同点是：小数的数值在一个数的右边增加“O”时，值不变，而整数是一个数的左边增加“O”时，值不变；小数是小数点开始往右其值递减，而整数是从小数点开始往左其值递增。就数位来说，有4点不同：1.小数是小数点以后名称按数字次序读出，而整数则没有小数点以后的数字；2. 小数部分从十分位开始，而整数从个位开始；3.小数的位名顺序是从左到右(十分位，百分位，千分位，……)，而整数的位名顺序是从右到左(个位，十位，百位，……)；4.小数读数字的顺序是十分位，百分位，千分位，……，而整数读数字的顺序是千位，百位，十位，个位，……就读法来说，小数读数时小数点左边整数部分按照整数读法，右边的数字依数字次序读出，而整数依照整数十进制结构读。
儿童先前所学的整数概念会影响到小数概念的正确建构，从而使得儿童在学习小数大小判断问题时产生困难。例如：3.8和3.21的大小比较。有些儿童认为3.21大于3.8，因为21大于8。这是因为他们忽视小数点的存在，而把小数当作整数来处理。瑞思尼克(Resnick，1985)将这类错误称为“整数规则”错误。此外，瑞思尼克等人也发现，当儿童面对有“0”紧随着出现在小数点之后的小数时，由于并未充分了解位值结构，会将“0”看作最小或者没有的意思，因而认为含有“0”的小数是最小的。瑞思克尼把儿童的这种反应称之为“零规则”，并将“零规则”视为整数规则的特例。他们还发现当小数中有“0”存在时，学生也会将“0”以整数规则来解决，他们会认为将“0”加在某数的左边时这个数的值不变；若“0”加在某数的右边，这个数的值会增加。例如在比较0.8和0.08时，将近有二分之一的五年级学生和三分之一的六年级学生认为这两个数是相等的。若有两个以上的小数比较大小时，儿童会先选择有“0”或更多的“0”出现在小数点之后的小数为最小。之后，儿童才会用整数规则来比较在小数点右边最多的数字为最大。例如：3.214，3.09，3.8三个数比较大小，学生会选择3.09为最小，因为3.09有“0”的存在；而3.214>3.8，因为214>8，所以3.214大于3.8。
小数概念是如何形成的？
小数概念的形成有两条基本途径：通过分数的“部分与全体”关系，或者利用整数的位值概念。“部分与全体”关系是用来诠释分数意义中的一种。将一个整体等分后，分数是表示或记录其中被指定的部分与全体关系。例如：“4/5”可表示一个整体被五等分后的四份。当等分数为10的幂数，亦即10，100，1000，…时，分数就有了另外特殊的记法：1/10可记成0.1，3/10可记成0.3，1/100可记成0.01，3/100可记成0.03，等等。因此，有限小数可被看成是分数的特例；一位小数是记录十分之几的分量，两位小数是记录百分之几的分量……从分数的角度切入，不难了解有限小数是由“十等分”分割产生的。百分之一的分量可从十分之一的分量再十等分产生，而千分之一的分量可从百分之一的分量再十等分产生……因此，十等分的活动可任意无限制继续下去。而此无限制被分割的观念正可用来说明小数稠密性的性质，亦即，任意两个小数之间有无限多个小数存在。
下面再从整数的位值概念来看小数概念的形成。在阿拉伯记数系统中，用0-9的十个数字及其被置放的相对位置，来表征所有的非负整数。在此记数系统下，任何非负整数皆可用展开式表示。例如：2479=2×1000+4×100+7×10+9×1，而此展开式可视为是以10为基底的多项式特例。在此展开式中，2479可被看成是2个“一千”，4个“一百”，7个“十”和9个“一”的合成结果。2479的展开式可以显示出此数的每个数字所代表的数值，而此数值是由这个数字对应的所在位置唯一决定。位置彼此之间的关系能以10为基底的指数形式表示出(注意此时的指数范围只限于非负整数)：
所以，一个非负整数被写成a3a2a1a0是意味着：
其中，个位对应的数字a0是表示以“一”为单位的个数，十位对应的数字a1是表示以“十”为单位的个数，百位对应的数字a2是表示以“百”为单位的个数……位值的关系也显示出每个单位是它紧邻右边单位的十倍。每个数字最多到9的限制是要求“满十进一”(即十进制)。在此记数系统下，个位是记录几个一的位置，其位值是1；以个位为基准点，往左一位是十位，是记录几个十的位置，其位值是10；往左一位是百位，是记录几个百的位置，其位值是100，以此类推，可以无限制地向左延
伸下去……为了使个位也能无限制地向右延伸下去，可将指数范围扩大至负整数；利用往左扩展一位是乘以10的结果，因此往右扩展一位是除以10的结果：以个位为基准点
利用位值往右扩展的结果，有了新符号(小数符号)及新位名的产生：
这样，通过记数系统也可以协助学生掌握小数的意义了。例如：因为0.32=3×0.1+2×0.01，所以小数0.32被看成是3个“0.1”和2个“0.01”的合成结果．又因为单位0.1是其紧邻右边单位0.01的十倍，因此小数0.32也可被看成是32个“0.01”的合成结果。
许多研究都表明，和分数一样，小学生对小数概念的理解也会遇到许多困难。
负数
你知道负数的发展历史吗？
在负数概念的教学中，中国学生似乎并没有遇到像西方学生那样多的困难，这里的一个原因可能与我们的文化传统有关。从数学发展史看，在使用负数和它的运算方面，中国在世界上处于遥遥领先的地位——距今大约2000年以前，中国在《九章算术》“方程”章中就引入了负数的概念和正负数加减法的运算法则。在某些问题中，以卖出的数目为正(因是收入)，买入的数目为负(因是付款)；余钱为正，不足钱为负。在关于粮谷的计算中，则以加进去的为正，减掉的为负。“正”、“负”这一对术语从这时起一直沿用到现在。在“方程”章中，引入的正负数加法法则称为“正负术”。正负数的乘除法法则出现得比较晚。在1299年朱世杰编写的《算学启蒙》中，“明正负术”一项讲了正负数加减法法则，一共八条，比《九章算术》更加明确；在“明乘除段”中有“同名相乘为正，异名相乘为负”之句，也就是现在的正负数乘法法则，是中国最早的记载。宋末李冶还创用在算筹上加斜划表示负数，负数概念的引入是中国古代数学最杰出的创造之一。
印度最早提出负数的是628年左右的婆罗摩笈多。他提出了负数的运算法则，并用小点或小圈记在数字上表示负数。相比之下，欧洲在认识负数概念方面则要晚得多，也困难得多。最早提出负数概念的是意大利数学家斐波那契。他在解决一个盈利问题时说：我将证明这个问题不可能有解，除非承认这个人可以负债。15世纪的舒开和16世纪的史提非虽然也都发现了负数，但又都把负数说成是荒谬的数。卡当给出了方程的负根，但把它说成是“假数”。韦达知道负数的存在，但他完全不要负数。笛卡尔部分地接受了负数，他把方程的负根叫假根，因为它比“无”更小。哈里奥特偶然地把负数单独地写在方程的一边，并用“一”表示它们，但他并不接受负数。邦别利给出了负数的明确定义。基拉德把负数与正数等量齐观，并用减号“一”表示负数。总之在16、17世纪，欧洲人虽然接触了负数，但对负数的接受的进展是缓慢的。有关“负数”是不是数的辩论延续了几百年之后，才逐渐取得比较一致的看法：负数和正数、零一样，也是数。负数概念的引入，使得加法运算的逆运算可以畅通无阻，但也给学生的学习带来许多理解上的困难，如什么是“比没有还要少”?为什么“负负得正”?著名的数学家、物理学家帕斯卡就曾经举过一个例子：一天，他与好友，神学家、数学家阿尔诺聊天，突然，阿尔诺说：“从来都是‘较小的数：较大的数=较小的数：较大的数’，但出现了负数以后，就有(一1)：1=1：(一1)。也就是说，‘较小的数：较大的数=较大的数：较小的数’，这不是很奇怪吗?”
过早引入负数概念好吗？
在我国新的《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中，小学阶段就已经引入了负数的概念，涉及负整数的初步认识，这样做的理由：一是因为负数在日常生活中的应用较多，学生经常有机会在生活中看到负数，学习一些负数的知识，有助于理解生活中遇到的负数的具体含义，从而拓宽数学视野；二是适量知道一些负数的知识，扩展对整数的认识范围，能更好地理解自然数的意义。但过早引入负数概念是否会给学生带来困难并对后继的数学学习产生影响，目前仍缺乏深入的研究。
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做一做
填空：
（1）小数与分数的差异主要反映在（ ）。
（2）小数与整数的区别可以从（ ）、 （ ）、（ ）三方面进行比较。
（3）小数概念的形成有（ ） 和（ ）两条基本途径。
2. 思考：
（1）中国学生在学习负数遇到的困难真的比较少吗？为什么？
（2）过早引入负数概念是否会给学生带来困难并对后继的数学学习产生影响？
参考答案
1.填空
（1）符号的表征系统部分
（2）值、数位和读法
（3）通过分数的“部分与全体”关系、利用整数的位值概念
2.思考
（1）中国学生在学习负数遇到的困难比较少，可能与我们的文化传统有关。从数学发展史看，在使用负数和它的运算方面，中国在世界上处于遥遥领先的地位。《九章算术》“方程”章中的“正负术”、《算学启蒙》中的正负数乘法法则，宋末李冶创用的在算筹上加斜划表示负数……，这些都是宝贵的学习负数的经验与财富。负数概念的引入是中国古代数学最杰出的创造之一。
（2）目前仍缺乏深入的研究。有待我们加强实证研究。
